Extraction manuelle de la racine cinquième d'un nombre

Vous allez découvrir sur cette page la solution pour calculer manuellement la racine cinquième d'un nombre.

 Introduction 

Les procédés manuels sur l'extraction des racines carrée et cubique des nombres étant déjà déterminés, il est question ici d'éclairer les esprits sur l'extraction des autres racines impaires dont la cinquième. Signalons que la racine quatrième d'un nombre est soluble en passant par l'extraction de la racine carrée.

 Rappel des puissances 5 des chiffres de 0 à 9 

Avant d'extraire la racine cinquième d'un nombre il faut avoir en tête "la table de la puissance 5" rappelée ci-dessous :

 L'explication par l'exemple 

Expliquons la méthode d'extraction de la racine cinquième en montrant comment calculer la racine cinquième de 33 554 432.

L'extraction de la racine cinquième de 33 554 432 se déroulera en 4 étapes.

 

Étape 1 : préparation des opérations

Appelons A le nombre de départ dont on veut calculer la racine 5^ème, et R le résultat final recherché.

Dans cet exemple A=33 554 432, R⁵=A, et on recherche le nombre R.

Appelons q le nombre de chiffres du résultat R recherché :

• La racine cinquième d'un entier de 1 à 5 chiffres a 1 chiffre. Donc q = 1
• La racine cinquième d'un entier de 6 à 10 chiffres a deux chiffres. Donc q = 2
• La racine cinquième d'un entier de 11 à 15 chiffres a trois chiffres. Donc q = 3
• La racine cinquième d'un entier de 16 à 20 chiffres a quatre chiffres, donc q = 4, etc.
  

Dans notre cas q=2 puisque le nombre A contient 8 chiffres. Les 2 chiffres du résultats R recherché seront nommés m et n (avec m les dizaines et n les unités : R = 10 x m + n). Les deux chiffres m et n du résultat seront calculés séparément dans les étapes 2 et 3.

A partir de la droite, on partage le nombre A en tranches de cinq chiffres en vue de faciliter l'extraction de la racine cinquième de la première tranche, au cas où le nombre entier a plus de cinq chiffres.

335 54432

On appelle première tranche la tranche de gauche (constituée des chiffres de poids forts).

Ici la première tranche vaut 335.

Étape 2 : recherche du premier chiffre m

Il faut maintenant trouver un chiffre dont la cinquième puissance sera inférieure ou égale à la première tranche, soit 335 dans notre exemple. Ce chiffre sera noté m et constitue le premier chiffre de la racine 5^ème recherchée.

3⁵ < 335 mais 4⁵ > 335

243 < 335 mais 1024 >335

Pour 335 54432, le premier chiffre m issu de la racine cinquième de 335 est 3.

Donc m = 3 (ce qui signifie déjà que le résultat R recherché en compris entre 30 et 39).

On multiplie m⁵ par 10^5.(q-1) et on soustrait ce résultat du nombre A de départ.

On soustrait 243. 10⁵ du nombre 335 54432, ce qui donne 92 54432 :

Les étapes suivantes peuvent revenir plus d'une fois suivant le nombres de chiffres qui composent le nombre R. Dans cet exemple l'étape 3 n'est effectuée qu'une seule fois puis qu'on attent plus qu'un seul chiffre : le chiffre n représentant les unités du résultat R.

Étape 3 : recherche du second chiffre n

Connaissant les dizaines du résultat (le nombre m) il nous faut maintenant rechercher les unités (le nombre n).

Pour trouver le chiffre suivant (le nombre n), on calcule d'abord le nombre dérivé de la fonction f'(m⁵) pour m = 3.

C'est ici que débute véritablement la première phase de l'extraction de la racine.

f'(m⁵) = 5.m⁴

= 5x3⁴ = 5x81 = 405

On trouve ensuite le nombre suivant n dont la quatrième puissance est concaténée au nombre dérivé de f' (m⁵) c'est-à-dire 405.

Faisons attention ici : la quatrième puissance du chiffre n est complétée de droite à gauche selon que le nombre 405 constitue le premier chiffre, d'une part, et le dernier ou seul chiffre de n⁴ est le cinquième chiffre, de gauche à droite. Ce qui nous renvoie à l'expression suivante :

(10⁴xf'(m⁵)…n⁴).n

Rappel : f'(m⁵)…n⁴ représente la concaténation des deux nombres f'(m⁵) et n⁴ afin de n'en former plus qu'un.

(4050000 + 2⁴) X 2

40 50000+2⁴ X 2 < 92 54432 mais 40 50000+3⁴ X 3 > 92 54432

40 50016 X 2 < 92 54432 mais 40 50081 X 3 > 92 54432

81 00032 < 92 54432 mais 121 50243 > 92 54432

Le chiffre 3 ne convient pas à cette opération, donc n=2.

Donc le second chiffre du résultat est 2 (chiffre n représentant les unités), et complète le premier chiffre déjà trouvé (chiffre m qui vaut 3 dans cet exemple et qui représente les dizaines du résultat).

On soustrait le nombre obtenu (81 00032) du nombre 92 54432.

 

Étape 4 : vérification que la racine 5^ème est bien un entier

Cette dernière étape est une simple étape de vérification.

Bien que nous ayons déjà une idée du résultat final (R=32), il faut procéder à une seconde opération pour s'assurer que le chiffre 2 est réellement le deuxième chiffre de la racine cinquième de 335 54432.

On applique pour celà la formule suivante :

5.10¹. m. n² ( 10². m² + (m…n)² ) m étant différent de zéro

Rappel : (m…n) représente la concaténation des chiffres m et n afin de constituer un seul nombre entier.

Pour m = 3 et n = 2 on a donc (m…n) = 32

Le nombre obtenu est soustrait du nombre 11 54400

Le résultat tombe juste, il n'y a pas de reste, 32 est donc la valeur exacte de la racine 5^ème recherchée.

Conclusion : le nombre 32 est la racine cinquième du nombre 33 554 432 : 32⁵ = 33 554 432

Remarques

1. les nombres élevés à la cinquième puissance peuvent par ce procédé, être développés en séries de la manière suivante :

(m…n…p…q…)⁵ =

10^5.(q-1). m⁵ + (10⁴f'(m⁵)…n⁴) n + 5.10¹. m. n²(m².10² + (m…n)²) + (10⁴f'((m…n)⁵)…p⁴).p + 5.10¹ (m…n).p²((m…n)².10² + (m…n…p)²) + …

m étant différent de zéro

2. Lorsque la racine contient plus de deux chiffres, on se sert de ses deux derniers chiffres (m et n, par exemple) pour trouver le troisième, comme on se sert du premier (m, dans le cas précédent) pour obtenir le second (n)

3. S'il y a un reste, on peut continuer l'opération en ajoutant une ou plusieurs tranches de cinq zéros, selon le degré de précision que l'on voudra atteindre.

4. Ce procédé permet également l'extraction de la racine cinquième des nombres entiers.

Autres exemples

1. Recherchons la racine cinquième de 53 92186 09632

m⁵ pour m = 2
= 2⁵ = 32 Notons ici que : (2⁵ = 32 < 53 et 3⁵ =243 > 53)

f'(m⁵) pour m = 2
= 5.2⁴ = 80

Conclusion : la racine cinquième de 539 218 609 632 est 222