Nous allons voir dans cet article comment utiliser le triangle de Pascal pour démontrer des relations trigonométriques comme par exemple les suivantes :

 

 

etc.

Comme pour tous les articles mathématiques du site Gecif.net la vulgarisation mathématique permet ici d'expliquer avec des mots et des notions simples (de niveau BAC) des résultats qui demandent en principe un niveau bien supérieur.

 

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Introduction

Tout le monde connaît le cosinus des angles usuels, comme pi/2, pi/3, pi/4 ou encore pi/6 :

 

Mais comment calculer la valeur exacte des nombres cos(pi/n) lorsque n n'est pas un multiple de 2, 3, 4, ou de 6 ? En particulier, comment calculer la valeur des nombres réels cos(pi/n) losque n est un nombre premier, comme dans les cas suivants :

etc.

Une des solutions possibles se trouve en partie dans le triangle de Pascal, comme nous allons le voir dans les paragraphes suivants.

 

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Rappel sur le triangle de Pascal

De construction assez simple, et très rapide, le triangle de Pascal permet d'ontenir instantanément des informations mathématiques sur des domaines variès, comme par exemple :

• les coefficients du binôme de Newton
• les nombres de la suite de Fibonacci
• ou encore, comme nous allons le voir ci-dessous, les coefficients d'un polynôme dont cos(pi/n) est racine

 

Triangle isocèle de Pascal (représentation classique)

 

Triangle rectangle de Pascal

Dans ce tableau, chaque élément est égal à la somme de deux autres éléments selon la règle suivante :

L'élément de la ligne L et de la colonne C est obtenu en additionnant l'élément de la lignes L-1 et de la colonne C avec l'élément de la ligne L-1 et de la colonne C-1

Exemple : l'élément sur la 7^ème ligne et la 3^ème colonne est le nombre 15. Il est obtenu en additionnant le 10 (6^ème ligne et 3^ème colonne) avec le 5 (6^ème ligne et 2^ème colonne).

La première colonne du triangle de Pascal ne contient que des 1, et chaque ligne finit par un 1.

 

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Les diagonales du triangle de Pascal

Dans le tableau ci-dessus, chaque diagonale du triangle de Pascal a été écrite avec une couleur différente, en alternant le rouge et le bleu.

Mais quel lien existe-t-il entre les diagonales du triangle de pascal, et les nombres réels de la forme cos(pi/n) ? La réponse, volontairement simplifiée pour l'instant, est la suivante :

Chaque diagonale du triangle de Pascal donne les coefficients d'un polynôme, dont cos(pi/n) est racine.

Exemple d'application : vous cherchez la valeur exacte de cos(pi/5) ? Prenons la 5ème diagonale du triangle de Pascal. Cette diagonale commence à la 5 ème ligne (n=5 ci-dessous), et est représentée en rouge dans le tableau suivant :

La 5 ème diagonale contient 3 nombres : 1, 3 et 1. En alternant le signe de chacun d'entre eux, on peut former un polynôme dont (indirectement) cos(pi/5) est racine :

Plus précisément, ce polynôme possède 2 racines réelles distinctes, qui sont :

Résolution de l'équation algébrique de second degré :

On en déduit la valeur des racines :

 

 

En divisant par 4 et en prenant la racine carrée, on obtient les valeurs exactes des cosinus recherchés :

 

 

Après cet exemple illustré avec le calcul de cos(pi/5), nous pouvons affiner l'affirmation liant les diagonales du triangle de Pascal, et les nombres réels de la forme cos(k.pi/n) :

En alternant le signe des nombres situés sur la n ième diagonale du triangle de Pascal, on obtient les coefficients d'un polynôme de degré p dont les p racines réelles distinctes sont :

(avec k variant de 1 à p)

 

Remarque : la somme des nombres présents sur une diagonale du triangle de Pascal est égale à un nombre de Fibonacci. Par exemple, la somme des 3 nombres présents sur la 5 ème diagonale est égale au 5 ème nombre de Fibonacci, c'est-à-dire 5 : 1 + 3 + 1 = 5

 

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Tentative de calcul de COS(pi/7)

Pour calculer cos(pi/7) nous allons utiliser la 7 ème diagonale du triangle de Pascal, qui nous donnera les coefficients (au signe près) d'un polynôme de degré 3, dont cos(pi/7) est (indirectement) racine. Dans le tableau ci-dessous, la 7 ème diagonale est représentée en rouge.

Remarque : la somme des 4 nombres présents sur la 7ème diagonale est égale au 7ème nombre de Fibonacci, c'est-à-dire 13 :

1 + 5 + 6 + 1 = 13

En alternant les signes (et en commençant toujours par un coefficient positif égal à 1), les 4 nombres situés sur la 7 ème diagonale du triangle de Pascal nous donnent le polynôme suivant :

Les 3 racines réelles distinctes de ce polynôme sont les nombres suivants :

 

 

Si on veut obtenir une valeur exacte de cos(pi/7) (sous forme de radical et fraction), il faut résoudre l'équation algébrique du troisième degré donnée par le triangle de Pascal. Malheureusement, la résolution d'une équation algébrique du troisième degré possédant 3 racines réelles distinctes se heurte à un problème important : il va falloir calculer la racine cubique d'un nombre complexe, ce qu'il est impossible de faire en valeur exacte sans utiliser les fonctions trigonométriques, et notament la fonction arctan dans l'expression du résultat.

Le triangle de Pascal ne nous donne donc pas la valeur exacte de cos(pi/7), mais nous donne un polynôme dont 4*cos(pi/7)*cos(pi/7) est racine. En liant les racines des polynômes issus du triangle de Pascal avec les coefficients de ces polynômes, nous pouvons dégager de nouvelles relations trigonométriques donnant la somme ou le produit de cosinus d'angles non usuels (pi/7, pi/11, pi/13, etc.), comme le montre le paragraphe suivant.

 

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Nouvelles relations trigonométriques

La première colonne du triangle de Pascal ne contenant que des 1, les polynômes issus des diagonales de ce triangle seront toujours des polynômes unitaire, c'est-à-dire que le coefficient du monôme de plus haut degré est toujours égal à 1.

Les fonctions symétriques des racines d'un polynôme donnent des relations entre ses racines et ses coefficients. Parmis les informations données par les fonctions symétriques, on peut retenir les deux remarques suivantes, donnant la somme et le produit des racines d'un polynôme en fonction des coefficients, dans le cas d'un polynôme unitaire :

 

Dans les expressions ci-dessus, la signification des constantes b et h est la suivante :

b	est le coefficient du monôme de degré p-1 (le polynôme étant de degré p)
h	est le coefficient du monôme de degré 0 : il s'agit du terme constant du polynôme (appelé aussi "la constante")

Si on applique ces deux remarques aux polynômes issus des diagonales du triangle de Pascal, on obtient alors un ensemble de relations trigonométriques, sachant que les racines de ces polynômes sont de la forme :

 

Voyons maintenant concrètement ces nouvelles relations trigonométriques qu'il est possible d'établir à partir du triangle de Pascal :

 

Cas où n=5 : le polynôme est de degré 2

En lisant les coefficients sur la 5 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

Cas où n=6 : le polynôme est de degré 2

En lisant les coefficients sur la 6 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

Cas où n=7 : le polynôme est de degré 3

En lisant les coefficients sur la 7 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

Cas où n=8 : le polynôme est de degré 3

En lisant les coefficients sur la 8 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

Cas où n=9 : le polynôme est de degré 4

En lisant les coefficients sur la 9 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

 

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

 

Cas où n=10 : le polynôme est de degré 4

En lisant les coefficients sur la 10 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

Cas où n=11 : le polynôme est de degré 5

En lisant les coefficients sur la 11 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

Cas où n=12 : le polynôme est de degré 5

En lisant les coefficients sur la 12 ème diagonale du triangle de Pascal, on obtient le polynôme suivant :

Relation donnant la somme des racines :

 

 

 

Relation donnant le produit des racines :

 

 

 

Et ainsi de suite avec les autres diagonales. Si par exemple vous recherchez une relation (somme ou produit de cosinus) utilisant l'angle pi/17, il vous faudra partir de la 17 ème diagonale du triangle de Pascal, écrire le polynôme en alternant les signes des coefficients de cette 17 ème diagonale, puis écrire les relations entre les coefficients et la somme ou le produit des racines de ce polynôme.

Voici pour information l'écriture en valeur exacte de cos(pi/17) sous forme de radicaux :

Et voici un exemple de relation trigonométrique utilisant pi/17 :

(pi/17.cos13pi/17) / ( sin5pi/17 - sin3pi/17) = 1/2

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