Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques
Introduction
Cet article expose les fonctions trigonométriques circulaires, hyperboliques, directes et réciproques (24 fonctions au total), avec l'ensemble de définition, la dérivée et la primitive de chacune d'entres elles.
Comme pour tous les articles mathématiques du site Gecif.net la vulgarisation mathématique permet ici d'expliquer avec des mots et des notions simples (de niveau BAC) des résultats qui demandent en principe un niveau bien supérieur.
Sommaire de cette page Les relations de base entre les fonctions trigonométriques Les 6 fonctions trigonométriques circulaires directes : Les 6 fonctions trigonométriques circulaires réciproques : Les 6 fonctions trigonométriques hyperboliques directes : Les 6 fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques :
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Les relations de base entre les fonctions trigonométriques
Les 3 fonctions de base sont le sinus, le cosinus et la tangente.
La cotangente, la sécante et la cosécante ne sont que les fonctions inverses des 3 fonctions de base :
- la cotangente est l'inverse de la tangente
- la cosécante est l'inverse du sinus
- la sécante est l'inverse du cosinus
et ce, aussi bien en version circulaire qu'hyperbolique comme indiqué dans le tableau suivant :
Fonctions circulaires |
Fonctions hyperbolques |
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Sachant que le rapport du sinus sur le cosinus est égal à la tangente, on en déduit les relations suivantes :
Fonctions circulaires |
Fonctions hyperbolques |
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On remarque dans le tableau précédent une des utilités de la sécante et de la cosécante :
- la sécante permet de définir la tangente par un simple produit
- la cosécante permet de définir la cotangente par un simple produit
Dans certains cas l'emploi des fonctions sécante et cosécante permet d'éviter les fractions, ce qui est particulièrement utile pour le calcul de dérivées ou de primitives par exemple.
Nom et ensemble de définition des 24 fonctions trigonométriques
Ce paragraphe indique le nom complet, le symbole mathématique, et l'ensemble de définition de chacune des 24 fonctions trigonométriques.
Bien que certaines fonctions puissent parfois être identifiées par plusieurs noms différents (ex : sh ou sinh pour le sinus hyperbolique, tg ou tan pour la tangente, arcsin ou sin-1 pour la fonction réciproque du sinus circulaire, etc.) nous adopterons ici les 24 noms explicites et non ambigüs indiqués dans les tableaux ci-dessous.
3 remarques sur les noms des fonctions :
- Le suffixe h désigne une fonction hyperbolique
- Le préfixe arc désigne une fonction circulaire réciproque
- Le préfixe arg désigne une fonction hyperbolique réciproque
Les 6 fonctions trigonométriques circulaires directes :
Nom complet |
Fonction |
Ensemble de définition |
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Explications concernant les ensembles de définition :
- sin(x) et cos(x) existent quelque soit le réel x : leur ensemble de définition est donc l'ensemble des nombres réels R
- tan(x) et sec(x) n'existent que si cos(x) n'est pas nul car tan(x)=sin(x)/cos(x) et sec(x)=1/cos(x)
- cotan(x) et cosec(x) n'existent que si sin(x) n'est pas nul car cotan(x)=cos(x)/sin(x) et cosec(x)=1/sin(x)
Or :
- cos(x)=0 si le réel x est de la forme pi/2+k.pi quelque soit l'entier relatif k
- sin(x)=0 si le réel x est de la forme k.pi quelque soit l'entier relatif k
Donc :
- tan(x) et sec(x) existent seulement si le réel x n'est pas de la forme pi/2+k.pi
- cotan(x) et cosec(x) existent seulement si le réel x n'est pas de la forme k.pi
Les 6 fonctions trigonométriques circulaires réciproques :
Nom complet |
Fonction |
Ensemble de définition |
(fonction réciproque de sin(x)) |
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(fonction réciproque de cos(x)) |
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(fonction réciproque de tan(x)) |
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(fonction réciproque de cotan(x)) |
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(fonction réciproque de sec(x)) |
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(fonction réciproque de cosec(x)) |
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Explications concernant les ensembles de définition :
- comme sin(x) et cos(x) renvoient un réel compris entre -1 et 1, arcsin(x) et arccos(x) n'existent que si x est compris entre -1 et 1
- comme tan(x) et cotan(x) peuvent avoir pour valeur n'importe quel réel, il est possible de calculer arctan(x) et arccotan(x) quelque soit le réel x
- comme sec(x)=1/cos(x) et que cos(x) est compris entre -1 et 1, sec(x) est soit supérieur à 1 (si 0 < cos(x) < 1) soit inférieur à -1 (si -1 < cos(x) < 0)
- arcsec(x) n'a donc de sens que si le réel x est supérieur à 1 ou si x est inférieur à -1
- comme cosec(x)=1/sin(x) et que sin(x) est compris entre -1 et 1, cosec(x) est soit supérieur à 1 (si 0 < sin(x) < 1) soit inférieur à -1 (si -1 < sin(x) < 0)
- arccosec(x) n'a donc de sens que si le réel x est supérieur à 1 ou si x est inférieur à -1
Les 6 fonctions trigonométriques hyperboliques directes :
Nom complet |
Fonction |
Ensemble de définition |
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Explications concernant les ensembles de définition :
- sinh(x) et cosh(x) existent quelque soit le réel x : leur ensemble de définition est donc l'ensemble des nombres réels R
- tanh(x) et sech(x) n'existent que si cosh(x) n'est pas nul car tanh(x)=sinh(x)/cosh(x) et sech(x)=1/cosh(x)
- cotanh(x) et cosech(x) n'existent que si sinh(x) n'est pas nul car cotanh(x)=cosh(x)/sinh(x) et cosech(x)=1/sinh(x)
Or :
- cosh(x) ne peut pas être nul lorsque x est un réel
- sinh(x)=0 seulement si le réel x vaut 0
Donc :
- tanh(x) et sech(x) existent pour tous les réels x
- cotanh(x) et cosech(x) existent seulement si le réel x n'est pas nul
Les 6 fonctions trigonométriques hyperboliques réciproques :
Nom complet |
Fonction |
Ensemble de définition |
(fonction réciproque de sinh(x)) |
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(fonction réciproque de cosh(x)) |
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(fonction réciproque de tanh(x)) |
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(fonction réciproque de cotanh(x)) |
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(fonction réciproque de sech(x)) |
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(fonction réciproque de cosech(x)) |
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Explications concernant les ensembles de définition :
- comme sinh(x) renvoie un réel quelconque, argsinh(x) existe quelque soit x
- comme cosh(x) renvoie une valeur entre 1 et plus l'infini, argcosh(x) existe seulement si x est supérieur à 1
- comme tanh(x) renvoie une valeur entre -1 et 1, argtanh(x) existe seulement si x est compris entre -1 et 1
- comme cotanh(x)=1/tanh(x) et que tanh(x) est compris entre -1 et 1, cotanh(x) est soit supérieur à 1 (si 0 < tanh(x) < 1) soit inférieur à -1 (si -1 < tanh(x) < 0)
- argcotanh(x) n'a donc de sens que si le réel x est supérieur à 1 ou si x est inférieur à -1
- comme sech(x)=1/cosh(x) et que cosh(x) est compris entre 1 et plus l'infini, sech(x) est compris entre 0 et 1
- argsech(x) n'a donc de sens que si le réel x est compris entre 0 et 1
- comme cosech(x)=1/sinh(x) et que sinh(x) peut prendre n'importe quelle valeur réelle, cosech(x) renvoie un réel quelconque
- argcosech(x) est donc défini quelque soit le réel x
Dérivées et primitives des 24 fonctions trigonométriques
Les tableaux suivants donnent la dérivée et une primitive pour chacune des 24 fonctions trigonométriques.
Utilisation de ces tableaux :
- vous voulez la dérivée de tan(x) ? Recherchez tan(x) dans la colonne centrale, la dérivée est à sa droite
- vous voulez la primitive de 1/cos(x) ? Recherchez sec(x) dans la colonne centrale, la primitive est à sa gauche
- vous recherchez la dérivée de ln(cosh(x)) ? Parcourez la colonne de gauche "Primitive de f(x)" à la recherche de ln(cosh(x)), sa dérivée sera dans la colonne centrale puisque la dérivée de la primitive de f(x) est f(x)
- vous recherchez une primitive de sin(x)/cos2(x) ? Parcourez la colonne de droite "Dérivée de f(x)" à la recherche de sec(x).tan(x), sa primitive sera dans la colonne centrale puisque la primitive de la dérivée de f(x) est f(x)
Vous l'avez compris, les tableaux ci-dessous vous offrent :
- 3 niveaux de dérivation (lecture de gauche à droite dans le tableau)
- 3 niveaux d'intégration (lecture de droite à gauche dans le tableau)
- avec les 24 fonctions trigonométriques en colonne centrale
Remarque au sujet des primitives :
Pour obtenir l'ensemble des primitives d'une fonction il faut ajouter une constante k (volontairement pas indiquée dans les tableaux) à la primitive donnée. Pour certaines fonctions il existe d'autres primitives qui s'écrivent différemment de celle donnée ici : la primitive n'est pas toujours unique, et peut parfois s'écrire sous une autre forme (c'est le cas notamment pour les primitives de sec(x) et de cosec(x)).
Les tableaux ci-dessous vous donnent donc une seule primitive parmi d'autres.
Dérivées et primitives des 6 fonctions circulaires directes :
Primitive de f(x) |
Fonction f(x) |
Dérivée de f(x) |
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Démonstration de la primitive de cosec(x) et de sec(x) en utilisant le changement de variable
On recherche la primitive F(x) de cosec(x)=1/sin(x) :
On effectue le changement de variable u=cos(x) :
Après ce changement de variable la primitive F(x) recherchée devient :
On en déduit la primitive de cosec(x), c'est-à-dire la primitive de 1/sin(x) :
La procédure est la même pour trouver la primitive de la sécante, en posant cette fois comme changement de variable u=-sin(x). On en déduit alors la primitive de sec(x), c'est-à-dire la primitive de 1/cos(x) :
Dérivées et primitives des 6 fonctions circulaires réciproques :
Primitive de f(x) |
Fonction f(x) |
Dérivée de f(x) |
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Démonstration de la primitive de arctan(x) et de arcsin(x) en utilisant l'intégration par parties
Dérivées et primitives des 6 fonctions hyperboliques directes :
Primitive de f(x) |
Fonction f(x) |
Dérivée de f(x) |
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Dérivées et primitives des 6 fonctions hyperboliques réciproques :
Primitive de f(x) |
Fonction f(x) |
Dérivée de f(x) |
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Les 6 primitives se retrouvent en utilisant l'intégration par parties
Démonstration de la dérivée de argcosech(x) :
Soit f une fonction. Notons :
- f' la fonction dérivée de f
- fR la fonction réciproque de f
Rappel :
f(fR(x))=fR(f(x))=x
La relation suivante nous donne la dérivée de la fonction réciproque d'une fonction f :
Ce que l'on écrira :
Si fR = argcosech(x) alors :
- f=cosech(x)
- et f'=-cotanh(x).cosech(x)
Il vient alors :
Or cosech(argcosech(x))=x, donc :
Décomposons argcosech(x) en utilisant certaines relations trigonométriques :
Rappel :
Décomposons cotanh(u) en utilisant certaines relations trigonométriques :
Il vient alors :
Nous venons de démontrer que :
Et on en déduit finalement la dérivée de argcosech(x) :
C.Q.F.D.
Remarque : en procédant de la même manière il est possible de retrouver la dérivée de la fonction argsech(x).